01 · Interaktive Lektion
Binärzahlen verstehen
Schalten Sie Bits um und verwandeln Sie die Zahl 42 Schritt für Schritt.
01 · Zwei stabile Zustände
Warum Binärzahlen im Computer?
Elektronische Schaltungen können zwei Zustände besonders zuverlässig unterscheiden, etwa niedrige und hohe Spannung. Wir bezeichnen diese mit 0 und 1. Ein Transistor lässt sich vereinfacht als Schalter vorstellen.
Eine Speicherstelle für ein Bit hält einen von zwei Zuständen fest. Acht Bits bilden ein Byte. Durch Kombination vieler Bits lassen sich Zahlen, Texte und Bilder codieren.
Betätigen Sie die acht Schalter. Bei einer 1 trägt der angegebene Stellenwert zur Zahl bei.
02 · Die Basis gehört dazu
Wie liest man die Schreibweise?
In \([42]_{10}\) gibt die tiefgestellte 10 die Basis des Dezimalsystems an. Es verwendet die Ziffern 0 bis 9. In \([101010]_2\) steht die 2 für die Basis des Binärsystems; dort gibt es nur 0 und 1.
\([42]_{10} = [101010]_2 = [00101010]_2\)
Die Zahl bleibt gleich, nur ihre Darstellung ändert sich. Führende Nullen ändern den Wert nicht. Die Basis ist keine Multiplikation und kein Teil der Ziffernfolge.
Dezimal: \([42]_{10}=4\cdot10^1+2\cdot10^0\). Binär stehen an den Stellen entsprechend Potenzen von 2.
Hilfekarte umklappen: Zweierpotenzen
Von rechts nach links verdoppelt sich der Stellenwert. Die rechte Stelle hat den Exponenten 0.
| Potenz | \(2^{7}\) | \(2^{6}\) | \(2^{5}\) | \(2^{4}\) | \(2^{3}\) | \(2^{2}\) | \(2^{1}\) | \(2^{0}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Wert | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
(2^8 = 256): Mit 8 Bit gibt es 256 verschiedene Muster, für vorzeichenlose Zahlen von 0 bis 255.
03 · Dezimal → Binär
Drei Wege zur gleichen Zahl
Alle Verfahren hier wandeln nichtnegative ganze Zahlen um. Wählen Sie einen Weg für \([42]_{10}\). Beim Wechsel beginnt das Beispiel neu.
04 · Binär → Dezimal
Stellenwerte addieren
- Nummerieren Sie die Stellen von rechts, beginnend mit 0.
- Multiplizieren Sie jedes Bit mit seiner Zweierpotenz.
- Addieren Sie die Produkte. Eine 0 trägt nichts zur Summe bei.
\([b_7b_6\ldots b_0]_2 = \sum_{i=0}^{7} b_i\cdot2^i\)
Ihr Beispiel: \([101010]_2\)
Klicken Sie nacheinander auf die sechs Stellen, um ihre Beiträge aufzudecken.
Denkanstoß umklappen: Wie könnte man negative Zahlen darstellen?
Überlegen Sie zuerst: Wie könnten Sie mit acht Bits auch ein Minuszeichen speichern?
Eine Idee ist ein Vorzeichenbit: 0 für positiv, 1 für negativ. Die übrigen sieben Bits geben den Betrag an. Damit wäre \([10101010]_2\) als Vorzeichen-Betrag-Darstellung die Zahl −42. Diese Vereinbarung hat zwei Nullen: +0 und −0.
Häufig verwenden Computer für vorzeichenbehaftete ganze Zahlen das Zweierkomplement. Bei 8 Bit erhält die linke Stelle den Wert \(-2^7=-128\); die anderen Stellen behalten ihre positiven Werte. So reicht der Wertebereich von −128 bis 127.
Für −42: Schreiben Sie +42 als 00101010, kehren Sie alle Bits um (11010101) und addieren Sie 1 (11010110). Kontrolle: \(-128+64+16+4+2=-42\).
Ein Bitmuster hat erst durch die vereinbarte Interpretation einen Wert: 11010110 steht vorzeichenlos für 214, im 8-Bit-Zweierkomplement für −42. In den Übungen rechnen Sie vorzeichenlos.