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Selbstlerneinheit · Zylindervolumen

Ein Zylinder in einer Kugel

Die Kugel hat den festen Radius R = 10 LE. Die Kreisränder der beiden Grundflächen des Zylinders liegen exakt auf ihrer Oberfläche. Wie viel Raum kann der Zylinder einnehmen?

Zylinder in einer Kugel mit Radius 10Die Abmessungen werden mit den Schiebereglern verändert.Kugelradius R = 10 LE

Schematische räumliche Ansicht · LE = Längeneinheiten

Dein Experiment

Radius und Höhe verändern

Bewege einen Regler. Der andere passt sich automatisch an die Kugel an.

Zylindervolumen V = π · r² · h

Es gilt immer: r² + (h/2)² = 100

Selbst entdecken

Welcher Zylinder hat das größte Volumen?

  1. Untersuche einen schmalen, hohen und einen breiten, flachen Zylinder. Beschreibe, wie sich das Volumen verändert.
  2. Suche mit den Reglern ein möglichst großes Volumen. Notiere Radius, Höhe und Volumen.
  3. Aktiviere den Axialschnitt. Begründe die Beziehung r² + (h/2)² = 100 mit dem Satz des Pythagoras.
  4. Drücke das Volumen nur durch h aus und bestimme das Maximum mithilfe der Ableitung.
Hinweis zur Volumenfunktion

Aus r² = 100 − h²/4 folgt V(h) = π · (100h − h³/4) für 0 ≤ h ≤ 20.

Lösung zur Kontrolle

V′(h) = π · (100 − 3h²/4). Daraus folgt h = 20/√3 ≈ 11,55 LE und r = 10√(2/3) ≈ 8,16 LE. Hier ist V″(h) = −3πh/2 negativ; an beiden Randpunkten ist V = 0. Das maximale Volumen beträgt 4000π/(3√3) ≈ 2418,40 VE.