Fadenpendel · Selbstlerneinheit
Wo bleibt die Energie?
Ein Skateboarder in der Halfpipe hilft dir, den ständigen Wechsel der Energie beim Fadenpendel zu verstehen.
Dein Lernweg
Arbeite die sechs Stationen der Reihe nach durch. Vermute zuerst. Öffne danach die Erklärung. In den interaktiven Modellen kannst du die Bewegung selbst steuern.
Ein Skateboarder in der Halfpipe
Oben ist der Skateboarder kurz fast in Ruhe. Seine Lageenergie ist groß. Beim Herunterfahren wird Lageenergie in Bewegungsenergie umgewandelt.
Unten ist er am schnellsten. Dort ist seine Bewegungsenergie am größten. Beim Hochfahren wird sie wieder zu Lageenergie.
Ohne Reibung erreicht er auf der anderen Seite wieder dieselbe Höhe. Die Energie verschwindet nicht. Sie wechselt nur ihre Form.
Das Fadenpendel macht etwas Ähnliches
Beim Fadenpendel schwingt eine Masse an einem Faden der Länge \(l\). Wie in der Halfpipe wechseln sich Lageenergie und Bewegungsenergie ab. Die Höhe \(h\) messen wir über dem tiefsten Punkt; der Winkel \(\varphi\) beschreibt die Auslenkung gegenüber der senkrechten Ruhelage.
Es gilt \(h=l(1-\cos\varphi)\). Am tiefsten Punkt setzen wir die Lageenergie gleich null. Der ideale Faden ist masselos und bleibt gleich lang; die Masse betrachten wir als punktförmig.
Bewege den Regler durch eine ganze Schwingung. Beobachte Ort, Geschwindigkeit und Energie.
Die Summe bleibt gleich:
Am Umkehrpunkt gilt \(v=0\). Dort ist nur Lageenergie vorhanden. Am tiefsten Punkt gilt \(h=0\). Dort ist die Bewegungsenergie am größten.
Beide Energien sind nie negativ. Die Höhe \(h\) über dem tiefsten Punkt und das Quadrat \(v^2\) sind nie negativ.
Reibung bremst die Bewegung
Eine echte Halfpipe und ein echtes Fadenpendel haben Reibung. In der Halfpipe wirken Rollreibung und Luftwiderstand, beim Pendel Reibung an der Aufhängung und Luftwiderstand. Dabei wird mechanische Energie an die Umgebung übertragen.
Die folgenden Pendeldiagramme zeigen kleine Auslenkungen: Dann gilt näherungsweise \(\sin\varphi\approx\varphi\). Winkel und Zeit sind auf eine feste Winkelskala bzw. auf \(1/\omega_0\) normiert, mit \(\omega_0=\sqrt{g/l}\).
Nein. Die mechanische Energie des Pendels wird kleiner. Sie wird vor allem in innere Energie der Umgebung umgewandelt. Umgangssprachlich sagen wir: Es entsteht Wärme.
Darum wird die Amplitude immer kleiner. Ohne neue Energie kommt das Pendel schließlich zur Ruhe.
Im richtigen Takt neue Energie zuführen
Ein Skateboarder kann sich in der Halfpipe passend zur Bewegung strecken und beugen. So führt er regelmäßig Energie zu. Ein Fadenpendel kann man durch regelmäßiges Anschubsen anregen, ähnlich wie eine Schaukel. Im Modell wirkt eine periodische Kraft entlang der Kreisbahn.
Die äußere Kraft muss im passenden Takt Energie zuführen. Liegt ihr Takt nahe an der Eigenfrequenz, kann die Amplitude stark wachsen. Das nennt man Resonanz.
Reibung begrenzt das Wachstum. Nach einiger Zeit kann pro Schwingung genauso viel Energie zugeführt werden, wie durch Reibung abgegeben wird.
Schnell zur Ruhe: die Federgabel
Was bedeutet „aperiodischer Grenzfall“?
Das System kehrt besonders schnell in die Ruhelage zurück, ohne über sie hinauszuschwingen. „Aperiodisch“ bedeutet: Es gibt keine wiederholte Schwingung mehr.
Bei einer Federgabel ist das nützlich. Das Rad soll nach einem Stoß nicht lange hüpfen. Eine zu starke Dämpfung wäre aber ebenfalls ungünstig: Dann kehrt die Gabel nur langsam zurück.
Für Experten: alles in einer Gleichung
Die Gewichtskraft zieht das Fadenpendel zur Ruhelage zurück. Entlang der Kreisbahn gilt mit der Bogenlänge \(s=l\varphi\):
Für kleine Winkel (im Bogenmaß) gilt \(\sin\varphi\approx\varphi\). Mit einer zur Bahngeschwindigkeit \(v=l\dot\varphi\) proportionalen Reibungskraft und einer periodischen tangentialen Anregung folgt:
\(m l\,\ddot\varphi\)Masse mal tangentiale Beschleunigung
\(b l\,\dot\varphi\)Dämpfung durch Reibung
\(mg\,\varphi\)Betrag und Vorzeichen des rückstellenden Terms für kleine Winkel
\(F_0\sin(\Omega t)\)periodische Kraft entlang der Kreisbahn
Ohne Reibung und Anregung gilt für kleine Winkel \(\omega_0=\sqrt{g/l}\) und \(T=2\pi\sqrt{l/g}\). Für größere Winkel muss der Term \(mg\sin\varphi\) verwendet werden; die Schwingung ist dann nicht genau sinusförmig.
Zusatz: Wo steckt der aperiodische Grenzfall?
Im Modell für kleine Winkel ohne äußere Anregung liegt der aperiodische Grenzfall bei
Bei einer Auslenkung aus der Ruhe kehrt das Pendel damit besonders schnell zurück, ohne über die Ruhelage hinauszuschwingen. Die Federgabel aus Station 5 nutzt dasselbe Prinzip der Dämpfung.
Das Wichtigste
Beim idealen Fadenpendel wechseln sich Lageenergie und Bewegungsenergie ab. Reibung überträgt mechanische Energie an die Umgebung; die Amplitude sinkt. Eine periodische äußere Kraft kann neue Energie zuführen. Nahe der Eigenfrequenz kann Resonanz entstehen. Starke Dämpfung kann Schwingungen verhindern; im aperiodischen Grenzfall kehrt das System besonders schnell und ohne Überschwingen zurück.
Zum Vergleich: das Zeitgesetz des Federpendels →