Schwingungen · Federpendel

Das Federpendel

Eine Masse an einer Feder schwingt um ihre Ruhelage.

Ziehst du die Masse etwas nach unten und lässt sie los, bewegt sie sich auf und ab. Wir messen ihre Auslenkung \(x\) von der Ruhelage aus. In unseren Skizzen ist die Richtung nach unten positiv. Die Diagramme zeigen Zentimeter; in Formeln mit \(D\) setzt du \(x\) in Metern ein.

Senkrechtes Federpendel: Die gestrichelte Masse zeigt die Ruhelage, die durchgezogene Masse den unteren Umkehrpunkt. Der Abstand zwischen beiden Lagen ist die Amplitude x-Dach. — Versuchsaufbau: Der Abstand zwischen Ruhelage und unterem Umkehrpunkt ist die Amplitude \(\hat{x}\).

Drei Größen für die Schwingung

Amplitude \(\hat{x}\): der größte Abstand von der Ruhelage. Schwingungsdauer \(T\): die Zeit für eine vollständige Bewegung zurück in dieselbe Lage mit derselben Bewegungsrichtung. Frequenz \(f\): die Zahl der Schwingungen pro Sekunde. Es gilt \(f=\frac{1}{T}\); ihre Einheit ist Hertz (Hz).

Handgezeichnetes Auslenkung-Zeit-Diagramm mit zwei Schwingungen. Ein senkrechter Doppelpfeil zeigt die Amplitude x-Dach von null bis zum Maximum. Ein waagerechter Doppelpfeil zwischen zwei Maxima zeigt die Schwingungsdauer T. — Im \(x(t)\)-Diagramm liest du \(\hat{x}\) auf der Auslenkungsachse und \(T\) auf der Zeitachse ab.

Zeitgesetz und Bewegungsgesetz

Beginnt die Messung in der Ruhelage und bewegt sich die Masse zuerst in positiver Richtung, gilt für eine ideale Schwingung ohne Reibung:

\[x(t)=\hat{x}\,\sin(\omega t)\]Die Kreisfrequenz ist \(\omega=\frac{2\pi}{T}\).

Das Zeitgesetz nennt die Auslenkung zu jedem Zeitpunkt. Die Geschwindigkeit beschreibt das Bewegungsgesetz:

\[v(t)=\hat{x}\,\omega\,\cos(\omega t)\]Die Geschwindigkeit eilt der Auslenkung um eine Viertelperiode voraus.

Für das Federpendel gilt außerdem \(T=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}\). Dabei ist \(m\) die schwingende Masse und \(D\) die Federkonstante. Am Umkehrpunkt ist die Geschwindigkeit null; in der Ruhelage ist sie am größten.

Was hat das mit dem Hookeschen Gesetz zu tun?

Eine ideale Feder zieht umso stärker zurück, je weiter die Masse ausgelenkt ist. Bezogen auf die Ruhelage gilt für die resultierende Kraft \(F_{\mathrm{res}}=-D\,x\). Das Minuszeichen zeigt: Die Kraft wirkt der Auslenkung entgegen. Die Einheit von \(D\) ist \(\mathrm{N/m}\).

Beim senkrechten Pendel gleicht die Federkraft in der Ruhelage die Gewichtskraft aus. Deshalb beschreibt \(F_{\mathrm{res}}=-D\,x\) die Bewegung um genau diese Lage.

Wohin geht die Energie?

\[E_{\mathrm{ges}}=E_{\mathrm{kin}}+E_{\mathrm{pot}}=\text{konstant}\]

An den Umkehrpunkten steht die Masse kurz still: \(E_{\mathrm{kin}}=0\), während \(E_{\mathrm{pot}}\) maximal ist. In der Ruhelage ist die Masse am schnellsten; dort ist \(E_{\mathrm{kin}}\) maximal und \(E_{\mathrm{pot}}\) minimal. Beim vertikalen Aufbau gehören zur potenziellen Energie sowohl die gespannte Feder als auch die Lage der Masse im Schwerefeld.

Ohne Reibung bleibt \(E_{\mathrm{ges}}\) gleich. Mit Reibung wird ein Teil der mechanischen Energie in Wärme umgewandelt; die Amplitude nimmt ab.